数据结构和算法分析


算法的渐近分析是指定义其运行时性能的数学边界/框架。使用渐近分析,我们可以很好地得出算法的最佳情况,平均情况和最坏情况。

渐近分析是输入界限,即,如果算法没有输入,则结论是在恒定时间内工作。除了“输入”之外,所有其他因素都被认为是不变的。

渐近分析是指以数学计算单位计算任何操作的运行时间。例如,一个操作的运行时间计算为 f (n),并且可以用于另一个操作,其计算为 g (n 2)。这意味着第一操作运行时间将随着 n 的增加而线性增加,并且当 n 增加时第二操作的运行时间将指数地增加。类似地,如果 n 非常小,则两个操作的运行时间几乎相同。

通常,算法所需的时间分为三种类型 -

  • 最佳案例 - 程序执行所需的最短时间。

  • 平均情况 - 程序执行所需的平均时间。

  • 最坏情况 - 程序执行所需的 长时间。

渐近符号

以下是计算算法运行时间复杂度的常用渐近符号。

  • Ο符号
  • Ω表示法
  • θ表示法

大哦符号,Ο

符号Ο(n)是表示算法运行时间上限的正式方式。它测量最坏情况下的时间复杂度或算法可能需要完成的最长时间。

大O符号

例如,对于函数 f (n)

Ο( _f_ (n)) = { _g_ (n) : there exists c > 0 and n0 such that _f_ (n)  c. _g_ (n) for all n > n0. }

Omega表示法,Ω

符号Ω(n)是表示算法运行时间下限的正式方式。它测量最佳案例时间复杂度或算法可能需要完成的最佳时间量。

欧米茄表示法

例如,对于函数 f (n)

Ω( _f_ (n))  { _g_ (n) : there exists c > 0 and n0 such that _g_ (n)  c. _f_ (n) for all n > n0. }

Theta Notation,θ

符号θ(n)是表示算法运行时间的下限和上限的形式方式。它表示如下 -

Theta表示法

θ( _f_ (n)) = { _g_ (n) if and only if _g_ (n) =  Ο( _f_ (n)) and _g_ (n) = Ω( _f_ (n)) for all n > n0. }

常见的渐近符号

以下列出了一些常见的渐近符号

不变 \- Ο(1)
对数的 \- Ο(log n)
线性 \- Ο(n)的
n log n \- Ο(n log n)
二次 \- Ο(n 2)
立方体 \- Ο(n 3)
多项式 \- n (1)
指数 \- 2 Ο(n)的