蓝桥杯冲击-02约数篇(必考)

1年前未命名245
蓝桥杯冲击-02约数篇(必考) 川户 于2023-03-17 16:21:32发布 4669 收藏 142 文章标签: 蓝桥杯 c++ 算法

文章目录

前言

一、约数是什么

二、三大模板

1、试除法求约数个数

2、求约数个数

3、求约数之和

三、真题演练


前言

约数和质数一样在蓝桥杯考试中是在数论中考察频率较高的一种,在省赛考察的时候往往就是模板题,难度大一点会结合其他知识点考察,但是仍然会用到模板,这里有三大模板,第一个是试除法求约数个数,第二个是求约数个数,第三个是求约数的和(来自y总的三个模型)


一、约数是什么

约数(约数的含义是什么) 1、意思 1.大约的数目。 2.一个数能够整除另一数,这个数就是另一数的约数。如2,3,4,6都能整除12,因此2,3,4,6都是12的约数。也叫因数。最后俩个都插到这个动态数组中,但是注意


二、三大模板 1、试除法求约数个数

算法思想:算x的约数,对 小于等于x的根号数求约数,当你求得一个约数,对应的也有另一个数是约数,就比如算12的约数,当算出3是约数,可得 4(12/ 3)也是12的约数。但是注意如果16的约数4对应的约数还是4不能在被放进去,所以要加一个特判

代码

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <vector> using namespace std; vector<int> get_divisors(int n) { vector <int> res; for(int i = 1;i <= n / i; i ++) { if(n % i == 0){ res.push_back(i); if(i != n / i) res.push_back(n/i); } } sort(res.begin(),res.end()); return res; } int main() { int n; cin >> n; while(n --) { int x; cin >> x; vector <int> res; res = get_divisors(x); for(auto c : res) { cout << c << " "; } cout << endl; } }

2、求约数个数

如果有一个数n,且 n = p1^c1 * p2 ^ c2 * p3 ^c3 + ...... + pn^cn;

那么它的约数个数和就等于 (c1 + 1 ) * ( c2 + 1 ) * (c3 + 1 ) ....(cn + 1);

p1^c1,这样的数就是上文中所介绍的质因数,通过求质因数,在求c1 + 1的值即可。

题目·

 代码

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <unordered_map> const int mod = 1e9 + 7; typedef long long LL; using namespace std; int main() { unordered_map <int,int> primes; int n; cin >> n; while (n -- ) { int x; cin >> x; for(int i = 2;i <= x / i;i ++) { while(x % i == 0) { x /= i; primes[i] ++; } } if(x > 1) primes[x] ++; } LL res = 1; for(auto c: primes) { res = res * (c.second + 1) % mod; } cout << res << endl; } 3、求约数之和

如果有一个数n,且 n = p1^c1 * p2 ^ c2 * p3 ^c3 + ...... + pn^cn;

那么它的约数之和为(p1^0  + p2^1 + p3 ^3 + .. +p^c1) * ... *( pn^c1 + pn^c2 +pn^c3  + ...+ pn^cn)

求解方法和上面一样,先是解出质因数,然后求出约数和的过程很巧妙,看下面代码

题目

 

题解

#include <bits/stdc++.h> typedef long long LL; const int mod = 1e9 + 7; using namespace std; int main() { unordered_map<int,int> primes; //一个值存的是这个质因数,第二个存的是指数 int n; cin >>n; while (n -- ) { int x; cin >> x; for(int i = 2;i <= x / i;i ++) { while(x % i == 0) { x /= i; primes[i] ++ ; // 指数加一 } } if(x > 1) primes[x] ++; } LL res = 1; for(auto c : primes) { int a = c.first,b = c.second; LL t = 1; while(b--) t = (t * a + 1) % mod; res = res * t % mod; } cout << res << endl; }

最后一步为什么会用这个t ,假设开始时为 

t : 1   

t :p+ 1 (t = 1 *p + 1)

t : p^2 + p  +1 ( t = (p+1) * p +1 )\

....

最后t : t=p^b+p^b−1+…+1

 

四、求最大公约数

求最大公约数,要用到欧几里得算法,就是 gcd (a,b) = gcd(b,a%b),注意b为0的时候按照欧几里得算法,b等于0,取a;

题目

 代码

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; int gcd(int a,int b) { return b ? gcd(b,a%b):a ; //b为0的时候按照欧几里得算法,b等于0,取a } int main() { int n; cin >> n; while(n --) { int a,b; cin >> a >> b; int t =gcd(a,b); cout << t <<endl; } }

 


 

三、真题演练

2020填空题

题目

题目描述

本题为填空题,只需要算出结果后,在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。

12000001200000 有多少个约数(只计算正约数)。

运行限制

最大运行时间:1s最大运行内存: 128M

代码

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> #include <unordered_map> const int mod = 1e9 + 7; typedef long long LL; using namespace std; int main() { unordered_map <int,int> primes; int x; x = 1200000; for(int i = 2;i <= x / i;i ++) { while(x % i == 0) { x /= i; primes[i] ++; } } if(x > 1) primes[x] ++; LL res = 1; for(auto c: primes) { res = res * (c.second + 1) % mod; } cout << res << endl; }

 

标签: [db:标签TAG]

相关文章

最近超火的ChatGPT到底怎么样?体验完后我有哪些感受和思考?

最近超火的ChatGPT到底怎么样?体验完后我有哪些感受和思考?...

工作十年对游戏看法的转变历程

工作十年对游戏看法的转变历程...

ChatGPT告诉你:项目管理能干到60岁吗?

ChatGPT告诉你:项目管理能干到60岁吗?...

ChatGPT到底是个啥 - 它甚至会和狗说话

ChatGPT到底是个啥 - 它甚至会和狗说话...

推荐5个很牛的开源项目

推荐5个很牛的开源项目...

数据分析:SQL和Python

数据分析:SQL和Python...