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我对算法进行了改进，该算法平均取O（M +N ^ 2）和O（M + N）的内存需求。主要与以下描述的协议相同，但是为了计算ech差异D 的可能因子A，K ，我预装了一个表。对于M = 10 ^ 7，此表花费不到一秒钟的时间。

我做了一个不到10分钟即可解决N = 10 ^ 5个不同的随机整数元素的C实现。

这是C语言中的源代码：执行即可：gcc -O3 -o findgeo findgeo.c

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <memory.h>
#include <time.h>

struct Factor {
    int a;
    int k;
    struct Factor *next;
};

struct Factor *factors = 0;
int factorsL=0;

void ConstructFactors(int R) {
    int a,k,C;
    int R2;
    struct Factor *f;
    float seconds;
    clock_t end;
    clock_t start = clock();

    if (factors) free(factors);
    factors = malloc (sizeof(struct Factor) *((R>>1) + 1));
    R2 = R>>1 ;
    for (a=0;a<=R2;a++) {
        factors[a].a= a;
        factors[a].k=1;
        factors[a].next=NULL;
    }
    factorsL=R2+1;
    R2 = floor(sqrt(R));
    for (k=2; k<=R2; k++) {
        a=1;
        C=a*k*(k+1);
        while (C<R) {
            C >>= 1;
            f=malloc(sizeof(struct Factor));
            *f=factors[C];
            factors[C].a=a;
            factors[C].k=k;
            factors[C].next=f;
            a++;
            C=a*k*(k+1);
        }
    }

    end = clock();
    seconds = (float)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC;
    printf("Construct Table: %f\n",seconds);
}

void DestructFactors() {
    int i;
    struct Factor *f;
    for (i=0;i<factorsL;i++) {
        while (factors[i].next) {
            f=factors[i].next->next;
            free(factors[i].next);
            factors[i].next=f;
        }
    }
    free(factors);
    factors=NULL;
    factorsL=0;
}

int ipow(int base, int exp)
{
    int result = 1;
    while (exp)
    {
        if (exp & 1)
            result *= base;
        exp >>= 1;
        base *= base;
    }

    return result;
}

void findGeo(int **bestSolution, int *bestSolutionL,int *Arr, int L) {
    int i,j,D;
    int mustExistToBeBetter;
    int R=Arr[L-1]-Arr[0];
    int *possibleSolution;
    int possibleSolutionL=0;
    int exp;
    int NextVal;
    int idx;
    int kMax,aMax;
    float seconds;
    clock_t end;
    clock_t start = clock();


    kMax = floor(sqrt(R));
    aMax = floor(R/2);
    ConstructFactors(R);
    *bestSolutionL=2;
    *bestSolution=malloc(0);

    possibleSolution = malloc(sizeof(int)*(R+1));

    struct Factor *f;
    int *H=malloc(sizeof(int)*(R+1));
    memset(H,0, sizeof(int)*(R+1));
    for (i=0;i<L;i++) {
        H[ Arr[i]-Arr[0] ]=1;
    }
    for (i=0; i<L-2;i++) {
        for (j=i+2; j<L; j++) {
            D=Arr[j]-Arr[i];
            if (D & 1) continue;
            f = factors + (D >>1);
            while (f) {
                idx=Arr[i] + f->a * f->k  - Arr[0];
                if ((f->k <= kMax)&& (f->a<aMax)&&(idx<=R)&&H[idx]) {
                    if (f->k ==1) {
                        mustExistToBeBetter = Arr[i] + f->a * (*bestSolutionL);
                    } else {
                        mustExistToBeBetter = Arr[i] + f->a * f->k * (ipow(f->k,*bestSolutionL) - 1)/(f->k-1);
                    }
                    if (mustExistToBeBetter< Arr[L-1]+1) {
                        idx=  floor(mustExistToBeBetter - Arr[0]);
                    } else {
                        idx = R+1;
                    }
                    if ((idx<=R)&&H[idx]) {
                        possibleSolution[0]=Arr[i];
                        possibleSolution[1]=Arr[i] + f->a*f->k;
                        possibleSolution[2]=Arr[j];
                        possibleSolutionL=3;
                        exp = f->k * f->k * f->k;
                        NextVal = Arr[j] + f->a * exp;
                        idx=NextVal - Arr[0];
                        while ( (idx<=R) && H[idx]) {
                            possibleSolution[possibleSolutionL]=NextVal;
                            possibleSolutionL++;
                            exp = exp * f->k;
                            NextVal = NextVal + f->a * exp;
                            idx=NextVal - Arr[0];
                        }

                        if (possibleSolutionL > *bestSolutionL) {
                            free(*bestSolution);
                            *bestSolution = possibleSolution;
                            possibleSolution = malloc(sizeof(int)*(R+1));
                            *bestSolutionL=possibleSolutionL;
                            kMax= floor( pow (R, 1/ (*bestSolutionL) ));
                            aMax= floor(R /  (*bestSolutionL));
                        }
                    }
                }
                f=f->next;
            }
        }
    }

    if (*bestSolutionL == 2) {
        free(*bestSolution);
        possibleSolutionL=0;
        for (i=0; (i<2)&&(i<L); i++ ) {
            possibleSolution[possibleSolutionL]=Arr[i];
            possibleSolutionL++;
        }
        *bestSolution = possibleSolution;
        *bestSolutionL=possibleSolutionL;
    } else {
        free(possibleSolution);
    }
    DestructFactors();
    free(H);

    end = clock();
    seconds = (float)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC;
    printf("findGeo: %f\n",seconds);
}

int compareInt (const void * a, const void * b)
{
    return *(int *)a - *(int *)b;
}

int main(void) {
    int N=100000;
    int R=10000000;
    int *A = malloc(sizeof(int)*N);
    int *Sol;
    int SolL;
    int i;


    int *S=malloc(sizeof(int)*R);
    for (i=0;i<R;i++) S[i]=i+1;

    for (i=0;i<N;i++) {
        int r = rand() % (R-i);
        A[i]=S[r];
        S[r]=S[R-i-1];
    }

    free(S);
    qsort(A,N,sizeof(int),compareInt);

/*
    int step = floor(R/N);
    A[0]=1;
    for (i=1;i<N;i++) {
        A[i]=A[i-1]+step;
    }
*/

    findGeo(&Sol,&SolL,A,N);

    printf("[");
    for (i=0;i<SolL;i++) {
        if (i>0) printf(",");
        printf("%d",Sol[i]);
    }
    printf("]\n");
    printf("Size: %d\n",SolL);

    free(Sol);
    free(A);
    return EXIT_SUCCESS;
}

我将尝试证明，我提出的算法
O（N`2 + M）平均而言是均匀
分布的随机序列。我不是数学家，也不习惯做
这种演示，因此，请尽一切可能纠正我
看到的任何错误。

有4个缩进循环，两个第一个是N ^ 2因子。M用于
计算可能的因素表）。

每个循环平均仅执行一次第三循环。您可以看到
此检查了预先计算的因子表的大小。
当N-> inf时，大小为M。因此，每对平均步长为M / M = 1。

因此，证明恰好检查了第四循环。（遍历
完好的序列的序列对所有对的执行均小于或等于O（N ^ 2）。

为了证明这一点，我将考虑两种情况：一种是M >> N，另一种是
M〜=N。其中M是初始数组的最大差：M = S（n）-S（1）。

对于第一种情况，（M >> N）找到巧合的概率为p = N / M。要
开始一个序列，它必须与第二个元素和b + 1个元素重合，其中b是
到目前为止最佳序列的长度。因此循环将进入
N ^ 2 （N / M）^ 2时间。
该系列的平均长度（假设无穷级数）为p /（1-p）= N /（MN）。因此，
执行循环的总次数为N ^ 2 （N / M）^ 2 * N /（MN）。当
M >> N 时，它接近于0 。这里的问题是当M〜= N时。

现在让我们考虑M〜= N的情况。让我们认为b是
到目前为止的最佳序列长度。对于A = k = 1的情况，则序列必须
在Nb之前开始，因此序列数将为Nb，并且
循环所需的时间将最大为（Nb）* b。

对于A> 1和k = 1，我们可以推断到
（NA * b / d）* bd为M / N（
数字之间的平均距离）。如果我们将所有A的值相加（从1到dN / b），那么
我们看到的上限是：

\ sum_ {A = 1} ^ {dN / b} \ left（N- \ frac {Ab} {d} \ right）b = \ frac {N ^ 2d} {2}

对于k> = 2的情况，我们看到序列必须在之前开始
NA * k ^ b / d，因此循环将输入的
平均值，A * k ^ b / d）* b并将
所有从1到dN / k ^ b的A 加起来，它的极限为

\ sum_ {A = 1} ^ {dN / k ^ b} \ left（N- \ frac {Ak ^ b} {d} \ right）b = \ frac {bN ^ 2d} {2k ^ b}

在此，最坏的情况是当b最小时。因为我们正在考虑最小
序列，所以让我们考虑b = 2的最坏情况，因此
对于给定的k，第4个循环的通过次数将小于

\ frac {dN ^ 2} {k ^ 2} 。

如果我们将所有k从2加到无限，将是：

\ sum_ {k = 2} ^ {\ infty} \ frac {dN ^ 2} {k ^ 2} = dN ^ 2 \ left（\ frac {\ pi ^ 2} {6} -1 \ right）

因此，将k = 1和k> = 2的所有遍加在一起，我们得到的最大值为：

\ frac {N ^ 2d} {2} + N ^ 2d \ left（\ frac {\ pi ^ 2} {6} -1 \ right）= N ^ 2d \ left（\ frac {\ pi ^ 2} {6 }-\ frac {1} {2} \ right）\ simeq 1.45N ^ 2d

注意，d ＝ M / N ＝ 1 / p。

因此，我们有两个限制，一个是当d = 1 / p = M / N变为1
时变为无限，另一个是当d变为无限时变为无限。因此，我们的限制是
两者中的最小值，最坏的情况是两种情况都交叉时。因此，如果我们
求解方程：

N ^ 2d \ left（\ frac {\ pi ^ 2} {6}-\ frac {1} {2} \ right）= N ^ 2 \ left（\ frac {N} {M} \ right）^ 2 \ frac {N} {MN} = N ^ 2 \ left（\ frac {1} {d} \ right）^ 2 \ frac {1} {d-1}

我们看到最大值是在d = 1.353时

因此证明了第四循环总共将被处理少于1.55N ^ 2 次。

当然，这是一般情况。在最坏的情况下，我无法找到一种方法来生成其第四级循环高于O（N ^ 2）的级数，并且我坚信它们不存在，但是我不是数学家来证明这一点。

旧答案

这是O（（n ^ 2）* cube_root（M））的平均值的解决方案，其中M是数组的第一个元素与最后一个元素之间的差。并且内存需求为O（M + N）。

1.-构造一个长度为M的数组H，以使M [i-S [0]] = true（如果i存在于
初始数组中），而返回false（如果不存在）。

2.-对于数组S [j]，S [i]中的每一对，执行以下操作：

2.1检查它是否可能是解决方案的第一和第三要素。为此
，计算满足方程S（i）= S（j）+AK + AK ^ 2的所有可能的A，K对。检查此SO
问题以查看如何解决此问题。并检查是否存在第二个元素：S [i] + A * K

2.2还应检查是否存在元素比我们拥有的最佳解决方案更进一步。例如，如果到目前为止我们拥有的最佳解决方案是4个元素长，那么请检查是否存在元素A [j] + A K + A K ^ 2+ A K ^ 3 + A K ^ 4

2.3如果2.1和2.2是正确的，则迭代此系列多长时间，并将其设置为bestSolution，直到现在为止的时间比上一个更长。

这是javascript中的代码：

function getAKs(A) {
    if (A / 2 != Math.floor(A / 2)) return [];
    var solution = [];
    var i;
    var SR3 = Math.pow(A, 1 / 3);
    for (i = 1; i <= SR3; i++) {
        var B, C;
        C = i;
        B = A / (C * (C + 1));
        if (B == Math.floor(B)) {
            solution.push([B, C]);
        }

        B = i;
        C = (-1 + Math.sqrt(1 + 4 * A / B)) / 2;
        if (C == Math.floor(C)) {
            solution.push([B, C]);
        }
    }

    return solution;
}

function getBestGeometricSequence(S) {
    var i, j, k;

    var bestSolution = [];

    var H = Array(S[S.length-1]-S[0]);
    for (i = 0; i < S.length; i++) H[S[i] - S[0]] = true;

    for (i = 0; i < S.length; i++) {
        for (j = 0; j < i; j++) {
            var PossibleAKs = getAKs(S[i] - S[j]);
            for (k = 0; k < PossibleAKs.length; k++) {
                var A = PossibleAKs[k][0];
                var K = PossibleAKs[k][17];

                var mustExistToBeBetter;
                if (K==1) {
                    mustExistToBeBetter = S[j] + A * bestSolution.length;
                } else {
                    mustExistToBeBetter = S[j] + A * K * (Math.pow(K,bestSolution.length) - 1)/(K-1);
                }

                if ((H[S[j] + A * K - S[0]]) && (H[mustExistToBeBetter - S[0]])) {
                    var possibleSolution=[S[j],S[j] + A * K,S[i]];
                    exp = K * K * K;
                    var NextVal = S[i] + A * exp;
                    while (H[NextVal - S[0]] === true) {
                        possibleSolution.push(NextVal);
                        exp = exp * K;
                        NextVal = NextVal + A * exp;
                    }

                    if (possibleSolution.length > bestSolution.length) {
                        bestSolution = possibleSolution;
                    }
                }
            }
        }
    }
    return bestSolution;
}

//var A= [ 1, 2, 3,5,7, 15, 27, 30,31, 81];
var A=[];
for (i=1;i<=3000;i++) {
    A.push(i);
}
var sol=getBestGeometricSequence(A);

$("#result").html(JSON.stringify(sol));

您可以在此处检查代码：http : //jsfiddle.net/6yHyR/1/

我之所以维持另一种解决方案，是因为我相信当M比N大时，它仍然更好。